数学のなぜ？図鑑
公式を覚える前に、理由を知ろう。50の疑問を具体例と30秒クイズで解き明かします。
数と計算
0で割ってはいけないのはなぜ？答えが「無限」でもない理由
3÷0を満たす数は存在しないため、通常の数の範囲では定義できません。
0は偶数？奇数？定義から30秒で分かる答え
0は偶数です。2×整数の形で表せて、2で割った余りも0だからです。
マイナス×マイナスがプラスになるのはなぜ？3つの見方
分配法則を正の数と同じように保つため、負×負は正になります。
分数の割り算はなぜひっくり返す？割る数だけ逆数にする理由
割る数を1にするため、その逆数を両方に掛けた結果です。
掛け算を足し算より先に計算するのはなぜ？計算順序の理由
世界中で式を同じ意味に読むための約束で、掛け算をまとまりとして先に扱います。
分数はなぜ必要？整数だけでは表せない量の正体
1を等しく分けた量や、二つの量の比を正確に表すためです。
なぜ1÷3は0.333…と終わらない？循環小数の仕組み
10進法では分母に2と5以外の素因数がある分数は有限小数で終わりません。
素数はなぜ重要？数の「原子」と呼ばれる理由
すべての2以上の整数が、素数の積へ本質的にただ一通り分解できるからです。
なぜ0乗は1？a⁰=1になる本当の理由
指数法則を0まで矛盾なく広げると、0でないaについてa⁰=1になります。
方程式
移項すると符号が変わるのはなぜ？本当は移動していない
等式の両辺に同じ数を足したり引いたりした結果を短く書いているだけです。
方程式の両辺に同じ操作をしてよいのはなぜ？
等しい二つの量へ同じ操作をすれば、結果も等しいからです。ただし情報を失う操作には注意が必要です。
数学で文字を使うのはなぜ？xが生む3つの便利さ
未知の数、変化する数、すべての数に共通する規則を一つの記号で表せるからです。
方程式の解を代入して確かめるのはなぜ大切？
途中の計算ミスや、変形で混入した不適切な解を発見できるからです。
連立方程式はなぜ2本必要？未知数と条件の関係
二つの未知数を一組に決めるには、通常は独立した条件が二つ必要だからです。
不等式を負の数で割ると向きが変わるのはなぜ？
負の数を掛けると数直線上の左右が反転するからです。
二次方程式の解が2つあるのはなぜ？グラフで理解
放物線がx軸と二つの点で交わることがあるためです。
関数
一次関数の「傾き」とは？数字が表す本当の意味
xが1増えたときにyがいくつ変化するかを表す割合です。
一次関数がy=ax+bになるのはなぜ？
一定の変化aを繰り返し、x=0の出発点bから始まる関係だからです。
関数とは結局なに？「xを決めるとyが1つ」の意味
ある入力を決めると、対応する出力がただ一つ決まる関係です。
切片とは何？グラフの「スタート地点」として理解する
一次関数y=ax+bで、x=0のときのyの値bです。
比例と反比例は何が違う？式・表・グラフで比較
比例は比y/xが一定、反比例は積xyが一定です。
傾きがマイナスだとグラフが下がるのはなぜ？
xの増加に対してyの変化量が負、つまりyが減るからです。
二次関数のグラフはなぜ放物線になる？
xから同じ距離だけ離れた値が同じyを持ち、変化の増え方が一定になるため、特徴的なU字形を作ります。
定義域と値域はなぜ必要？使える数字の範囲を見抜く
式が意味を持つ入力と、そこから実際に出る出力を区別するためです。
平方根
図形
相似な図形で辺の比が等しいのはなぜ？
一方を同じ倍率で拡大・縮小すると他方に重なるため、すべての長さが同じ倍率で変わるからです。
三角形の内角の和が180°になるのはなぜ？
一つの頂点を通り対辺に平行な直線を引くと、三つの角が一直線上に並ぶからです。
三平方の定理はなぜ成り立つ？面積で見るa²+b²=c²
同じ大きな正方形の面積を二通りに分けると等式が得られます。
円の面積がπr²になるのはなぜ？細かく切って並べ替える
円を細い扇形に分けて交互に並べると、底辺πr、高さrの長方形に近づくからです。
円周が2πrになるのはなぜ？πの定義から理解
πを「円周÷直径」と定義しているため、円周=π×直径=2πrです。
面積の単位がcm²になるのはなぜ？
縦方向と横方向という二つの長さを掛けるため、単位もcm×cm=cm²になります。
体積の単位がcm³になるのはなぜ？
縦・横・高さの三つの長さを掛け、1cm角の立方体が何個入るか数えるためです。
円すいの体積が3分の1になるのはなぜ？
同じ底面積と高さの円柱に対し、断面積を積み重ねると体積がちょうど3分の1になるからです。
対頂角が等しくなるのはなぜ？一直線の角から証明
隣り合う角との和がどちらも180°で、同じ角を180°から引いた値になるからです。
平行線の錯角が等しいのはなぜ？
一方の直線を向きを変えずに平行移動すると他方に重なり、横切る線との角度が保たれるからです。
確率・統計
確率を「場合の数の割合」で求められるのはいつ？
起こりうる基本結果がすべて同じ起こりやすさのとき、該当する結果の個数の割合で求められます。
独立な確率を掛け算するのはなぜ？
一つ目の各結果の先に、同じ割合で二つ目の結果が枝分かれするためです。
23人で誕生日が重なる確率が50％超？誕生日問題
23人では人の組合せが253組もあり、比較の機会が想像以上に多いからです。
平均だけ見ると危険なのはなぜ？同じ平均・違う分布
平均は全体を一つに要約するため、ばらつきや外れ値を隠してしまうからです。
中央値はなぜ必要？平均より役立つ場面
極端に大きい・小さい値の影響を受けにくく、順序の中央を示せるからです。
標準偏差とは？「ばらつき」を一つの数字にする仕組み
各値が平均からどれくらい離れているかを、符号を打ち消さずにまとめた尺度です。
相関関係と因果関係は何が違う？
二つが一緒に変化しても、一方が他方の原因とは限りません。
アンケート結果が偏るのはなぜ？標本の選び方
回答者が調べたい集団を公平に代表していないと、集計が母集団の特徴からずれるからです。
モンティ・ホール問題はなぜ扉を変えると有利？
最初に当たりを選ぶ確率は1/3のままで、残り2/3が司会者の情報によって一枚の扉へ集まるからです。
期待値とは？「必ずもらえる金額」ではない意味
各結果の値にその確率を掛けて合計した、長期的な一回あたりの平均です。
回数を増やすと確率に近づくのはなぜ？大数の法則
独立な試行を多数繰り返すと、偶然の上振れと下振れが平均化され、標本平均が期待値へ近づくからです。