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なぜ1÷3は0.333…と終わらない？循環小数の仕組み

StudyOrange編集部｜ 2026年8月21日｜数と計算

先に答え：10進法では分母に2と5以外の素因数がある分数は有限小数で終わりません。

まず、何が不思議なのか

循環小数は、手順だけを暗記すると「そういう決まり」に見えます。しかし数学の決まりには、前に学んだ定義や計算法則と矛盾しない理由があります。ここでは式と具体例の両方から確かめます。

小数が有限で終わる数は、10、100、1000などを分母にできます。10=2×5なので、約分後の分母が2と5だけなら桁数を増やして割り切れます。

大切なのは、結論だけでなく「どの定義を使ったか」「前の行から何をしたか」を言葉にできることです。そうすれば数字や図が変わっても同じ考え方を使えます。

1/8は分母が2³なので0.125で終了。1/3は分母3を10の累乗に合わせられず、割り算の余り1が繰り返されます。

終わらない小数が曖昧なのではありません。繰り返しの規則が決まっているため、分数として正確な一つの数です。

1/6は有限小数？答えを見る

いいえ。分母6=2×3に3が含まれ、0.1666…と循環します。

10進法では分母に2と5以外の素因数がある分数は有限小数で終わりません。

計算手順に加えて「小数が有限で終わる数は、10、100、1000などを分母にできます。10=2×5なので、約分後の分母が2と5だけなら桁数を増やして割り切れます。」という理由まで理解すると、初めて見る問題にも応用しやすくなります。

内容は中学校・高等学校の標準的な数学の定義と性質に基づき、StudyOrange編集部が例題を作成・確認しています。

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