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無理数はなぜ必要？分数で表せない長さがある理由

StudyOrange編集部｜ 2026年8月21日｜平方根

先に答え：図形に実在する長さの中に、整数の比では正確に表せないものがあるからです。

まず、何が不思議なのか

無理数は、手順だけを暗記すると「そういう決まり」に見えます。しかし数学の決まりには、前に学んだ定義や計算法則と矛盾しない理由があります。ここでは式と具体例の両方から確かめます。

一辺1の正方形の対角線は三平方の定理で√2。√2を分数p/qと仮定すると偶奇について矛盾が生じます。

大切なのは、結論だけでなく「どの定義を使ったか」「前の行から何をしたか」を言葉にできることです。そうすれば数字や図が変わっても同じ考え方を使えます。

小数1.414…は近似値ですが、√2はその長さを誤差なく示す記号です。円周率πも代表的な無理数です。

「無理」は意味がないという意味ではありません。有理数（比で表せる数）ではない数、という分類名です。

√4は無理数？答えを見る

いいえ。√4=2で整数、したがって有理数です。

図形に実在する長さの中に、整数の比では正確に表せないものがあるからです。

計算手順に加えて「一辺1の正方形の対角線は三平方の定理で√2。√2を分数p/qと仮定すると偶奇について矛盾が生じます。」という理由まで理解すると、初めて見る問題にも応用しやすくなります。

内容は中学校・高等学校の標準的な数学の定義と性質に基づき、StudyOrange編集部が例題を作成・確認しています。

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