【素数は無限にある？】ユークリッドの証明を中学生向けにやさしく解説

2、3、5、7、11、13……。1と自分自身でしか割り切れない数を素数といいます。素数を探していくと、いつか最後の素数にたどり着くのでしょうか。答えは「素数は無限にある」です。この事実は2000年以上前、古代ギリシャの数学者ユークリッドによって証明されました。【素数とは】素数は、1より大きい自然数のうち、正の約数が1と自分自身だけの数です。2や5は素数、6は1・2・3・6で割れるため素数ではありません。1は素数ではありません。1を素数にすると、素因数分解の表し方が一つに決まらなくなるからです。【最後の素数があると仮定】素数が有限個しかなく、すべてをp₁、p₂、……、pₙと一覧にできると仮定します。【全部かけて1を足す】N＝p₁×p₂×……×pₙ＋1という数を作ります。例えば2、3、5しかないと仮定すれば、2×3×5＋1＝31です。【Nは一覧の素数では割れない】積p₁×p₂×……×pₙは一覧のどの素数でも割り切れます。しかし最後に1を足したNは、どの素数で割っても必ず余りが1になります。どちらの場合でも「すべての素数を一覧にした」という仮定と矛盾します。したがって最後の素数は存在せず、素数は無限にあります。【重要な注意】作ったNそのものが必ず素数になるわけではありません。Nが合成数でも、その約数に一覧外の素数が含まれることが証明の核心です。【具体例】2、3、5、7だけが素数だと仮定すると、2×3×5×7＋1＝211。211は2、3、5、7のどれでも割り切れません。この場合は211自体が素数です。【なぜ素数は重要？】すべての自然数は素数の積として表せます。素数は「数の世界の原子」のような存在です。現代では、大きな数の素因数分解が難しい性質を利用し、インターネット通信の暗号にも使われます。【よくある質問】Q. 最大の素数はありますか？A. ありません。どれほど大きな素数を見つけても、その先に別の素数があります。Q. 全部かけて1を足した数は必ず素数？A. 必ずしも素数ではありません。ただし元の一覧の素数では割り切れません。Q. 素数に規則はありますか？A. 複雑な傾向はありますが、次の素数を簡単に当てる完全な式はありません。【まとめ】素数が有限個だと仮定して全部かけて1を足すと、一覧のどの素数でも割り切れない数ができます。その数自身または素因数が新しい素数になるため、有限個という仮定は矛盾します。これがユークリッドの美しい証明です。