0.999…は本当に1？
「ほぼ同じ」ではなく完全に同じ理由

StudyOrange編集部 ｜ 2026年8月21日 ｜ 読了時間：約4分

0.9、0.99、0.999……。9を増やすほど1へ近づくのは分かります。でも、どこまで行っても1には届かない気がしませんか？ 実は数学では、0.999…と1は完全に同じ数です。

証明1：10倍して引いてみる

証明2：3分の1から考える

1÷3を小数で書くと、0.333…です。この両方を3倍してみます。

左側は1。右側は0.999…。同じ数を3倍した結果なので、両者も同じ数になります。

「限りなく近い」だけではないの？

ここが一番引っかかるところです。0.9や0.99のように9が有限個なら、確かに1との差があります。

• 1 − 0.9 ＝ 0.1
• 1 − 0.99 ＝ 0.01
• 1 − 0.999 ＝ 0.001

しかし「…」は、9が途中で止まらず無限に続くという意味です。差も0.1、0.01、0.001……と限りなく小さくなります。最後に残る正の数はありません。差が0なら、二つは同じ数です。

同じ数に二つの書き方があっていい

「同じ数なのに見た目が違うのはおかしい」と感じるかもしれません。でも、1と2/2が同じ数であるように、一つの数に複数の表し方があっても問題ありません。

実は1だけでなく、0.24999…＝0.25、2.999…＝3も成り立ちます。有限小数で終わる数には、9が無限に続くもう一つの表し方があるのです。

関連記事